Hliněná tabulka stará 3 500 let obsahuje překvapivě přesný výpočet odmocniny ze dvou. Podle některých matematiků tak ukazuje, že Babylóňané používali princip Pythagorovy věty dávno před samotným Pythagorem.
Věda jde kupředu, ale s pohledem upřeným do minulosti. Každý nový objev navazuje na předchozí vrstvy poznatků, které po přezkoumání moderními nástroji mohou dát nový význam tomu, co bylo považováno za samozřejmé. Historický a vědecký výzkum tak nejen odhaluje nové údaje, ale také nám umožňuje pochopit hluboký původ intelektuálních mechanismů, které dnes používáme v každodenním životě. Na této křižovatce mezi minulostí a současností se matematika opět dostává do centra pozornosti díky objevu, který zpochybňuje jeden z jejích nejsymboličtějších příběhů: původ Pythagorovy věty.
V posledních desetiletích oživila analýza starověkých dokumentů debatu o tom, zda tuto slavnou větu skutečně vymyslel řecký učenec, nebo zda se ve skutečnosti používala již dávno předtím. Na síle nabývá hypotéza, že matematický vztah mezi stranami pravoúhlého trojúhelníku byl znám a aplikován babylonskými civilizacemi nejméně tisíc let předtím, než jej Pythagoras systematicky formuloval, stejně jako jej dnes praktikují studenti ve školních třídách. Předmětem této diskuse je přibližně 3 500 let stará hliněná tabulka, jejíž obsah naznačuje pokročilé znalosti geometrie.
Nálezy tohoto druhu nás nutí kvalifikovat představu hluboce zakořeněnou v lidové kultuře: představu, že matematika vznikla téměř najednou v klasickém Řecku. Archeologické nálezy ukazují složitější obraz, v němž různé civilizace – Babylóňané, Egypťané, Číňané, Indové – nezávisle na sobě nebo prostřednictvím kontaktů rozvíjely myšlenky, které dnes považujeme za „řecké“. Případ Pythagorovy věty se stal paradigmatickým příkladem toho, že dějiny vědy jsou ve skutečnosti dějinami návazností, výpůjček a přepracování.
Studie navrhující historickou re-signifikaci věty
Debata nabyla na aktuálnosti poté, co byl v roce 2009 v časopise Journal of Targeting, Measurement and Analysis for Marketing publikován článek, jehož autorem je Bruce Ratner, americký vědec s doktorátem ze statistiky, matematiky a pravděpodobnosti z Rutgersovy univerzity. Je známý tím, že při analýze dat používá matematické nástroje a v tomto případě reinterpretuje historické zdroje z přísného hlediska. Ve své práci navrhuje, že některé koncepty považované za základní pro řeckou matematiku byly přítomny již v mnohem starších kulturách.
Ratner není historikem vědy v užším slova smyslu, ale jeho matematické vzdělání mu umožňuje číst tabulky technickým okem: identifikovat číselné vzorce, rozpoznávat aproximace odmocnin a porovnávat starověké metody s moderními algoritmy. Ve svém článku podrobně analyzuje jeden z nejznámějších kousků babylonské sbírky: tabulku YBC 7289 a uvádí ji do dialogu s dalšími mezopotamskými dokumenty, které ukazují stejným směrem.
Svým přístupem se připojuje k širší linii bádání, kterou rozvíjejí specialisté na dějiny matematiky, jako jsou Otto Neugebauer, Eleanor Robsonová a Jens Høyrup, kteří od poloviny 20. století ukazují, že babylonská tradice disponovala překvapivě propracovanou aritmetikou a geometrií, na hony vzdálenou obrazu „rudimentárního kalkulu“, který jí přisuzují starověké učebnice.
Kdo byl Pythagoras a co vysvětluje jeho věta
Abychom pochopili závažnost této otázky, je třeba připomenout, kdo byl Pythagoras. Narodil se kolem roku 570 př. n. l. a zemřel kolem roku 495 př. n. l. Podle univerzity Francisca José de Caldas byl řeckým filozofem a matematikem, který založil vlivnou myšlenkovou školu. Je mu připisována formulace věty, která nese jeho jméno a podle níž v každém pravoúhlém trojúhelníku platí, že součet čtverců ramen je roven čtverci přepony. Tento princip se stal základním nástrojem geometrie, architektury a mnoha aplikovaných věd.
Zjednodušeně řečeno, má-li trojúhelník pravý úhel (90 stupňů), strany, které tento úhel svírají, se nazývají rameny a protilehlá strana se nazývá přepona. Pythagorova věta říká, že pokud nazveme a a b rameny a c přeponou, pak platí vztah:
a² + b² = c²
Tato rovnost, která se dnes vyučuje na středních školách, umožňuje počítat vzdálenosti, navrhovat budovy, kreslit mapy, programovat 3D videohry nebo dokonce určovat dráhu družic. Je to jeden z nejznámějších vzorců v celé matematice a jeho zdánlivá jednoduchost skrývá obrovskou koncepční sílu.
Historická postava Pythagora je však zahalena stínem. Nedochovaly se žádné jeho spisy a téměř vše, co je známo, pochází od pozdějších autorů, z nichž mnozí mísí životopis, legendu a filozofickou doktrínu. Pythagorova škola fungovala téměř jako náboženská komunita s přísnými pravidly utajení: vědomosti byly připisovány učiteli, nikoliv jednotlivci, který je vytvořil. Proto když mluvíme o „pythagorejské větě“, máme ve skutečnosti na mysli spíše kolektivní intelektuální tradici než jedinou osobu.
Pythagorean math at the beginning of time..! What happens if we go back >?
BABYLON CLAY TABLET – YBC 7289
(YALE BABYLONIAN COLLECTION)
(1800 – 1600 BC)
THE NUMBER ON THE DIAGONAL IS;
30547/43200 = 0.7071 1,
A CLOSE NUM ~ OF; {1 / sqrt of 2}
(6 DECIMAL POINTS OF ACCURACY) pic.twitter.com/kSVygvXk8z— Holocipher (@fractal_verse) February 3, 2024
Historici se shodují, že Řekové byli první, kdo nabídli formální demonstrace věty, tj. logické důkazy, které nezávisí na konkrétních příkladech, ale na obecném uvažování. Nejstarší dochovaná demonstrace se objevuje v Eukleidových Elementech, které byly napsány kolem roku 300 př. n. l., tedy téměř dvě století po Pythagorovi. Skutečnost, že Řekové byli průkopníky v dokazování, však neznamená, že jako první použili vztah mezi stranami pravoúhlého trojúhelníku.
Tabulka YBC 7289: Čtverec, úhlopříčka a odmocnina
Ratnerova práce je založena na studiu babylonské tabulky známé jako YBC 7289, která byla nalezena v jižní části starověké Mezopotámie, dnes součásti státu Irák, a která je nyní uložena na Yaleově univerzitě. Je na ní zobrazen čtverec s jeho úhlopříčkou, doplněný čísly zapsanými v sexagesimální soustavě. Po jejich analýze dospěl matematik k závěru, že vyjadřují pozoruhodnou aproximaci druhé odmocniny ze dvou, což je základní hodnota pro výpočet úhlopříčky čtverce.
Sexagesimální soustava je číselná soustava v základu 60, která se liší od dnešní desítkové soustavy (základ 10). Ačkoli se může zdát exotická, stále ji používáme, aniž bychom si to uvědomovali: při dělení času (60 sekund, 60 minut) a při měření úhlů (360 stupňů). Babyloňané ji používali k velmi efektivním výpočtům se zlomky.
Na tabulce YBC 7289, datované přibližně mezi lety 1800 a 1600 př. n. l., je čtverec, jehož strany jsou označeny číslem 30 (v sexagesimálním zápisu) a na úhlopříčce je další číslo, které – převedeno do naší desítkové soustavy – přibližně odpovídá 1,414213. Toto číslo je mimořádně přesnou aproximací druhé odmocniny ze 2 (≈ 1,41421356…) s chybou menší než 0,00001. K dosažení něčeho takového nestačí měřit „od oka“: je zapotřebí systematická metoda výpočtu.
Z geometrického hlediska je odmocnina 2 délkou úhlopříčky čtverce o straně 1. A zde vstupuje do hry Pythagorova věta: má-li čtverec stranu 1, pak úhlopříčka d splňuje, že 1² + 1² = d², tj. 2 = d², takže d = √2. Tabulka tedy ukazuje, že Babylóňané uměli velmi přesně vyjádřit vztah mezi stranou a úhlopříčkou čtverce pomocí číselné úměry, i když ji nevyjadřovali moderním algebraickým jazykem.
Filologický a matematický výzkum odborníků, jako je Eleanor Robsonová, ukázal, že YBC 7289 není ojedinělým předmětem, ale součástí učenecké tradice. Pravděpodobně se jednalo o cvičnou tabulku, která sloužila k výuce písařů, jak pracovat s odmocninami a úhlopříčkami. Jinými slovy, znalosti, které si dnes spojujeme s Pythagorovou větou, byly součástí technického vzdělání mezopotámské správní a vědecké elity.
Samotná věta byla formulována až o tisíc let později
„Závěr je nevyhnutelný. Babyloňané znali vztah mezi délkou úhlopříčky čtverce a jeho stranou,“ vysvětluje Ratner ve své studii. A jde ještě dál: „Bylo to pravděpodobně první číslo, o kterém se vědělo, že je iracionální. To však ve svém důsledku znamená, že znali Pythagorovu větu, nebo alespoň její speciální případ pro úhlopříčku čtverce, více než tisíc let před velkým mudrcem, který jí dal jméno.“ Z těchto tvrzení nevyplývá, že by ji Babylóňané formulovali jako abstraktní větu, ale že ji aplikovali s přesností.
Když Ratner hovoří o „iracionálním čísle“, má na mysli typ čísla, které nelze vyjádřit jako zlomek dvou celých čísel (např. 1/2 nebo 3/4). Kořen čísla 2 je iracionální: jeho desetinný rozvoj je nekonečný a neperiodický. Podle řecké tradice byl objev iracionality √2 filozofickou ranou pro pythagorejce, kteří věřili, že vše ve vesmíru lze vyjádřit celočíselnými poměry. To, že Babyloňané zvládli tak dobrou aproximaci √2, naznačuje, že i když možná neměli formální pojem „iracionality“, věděli, že se jedná o zvláštní veličinu, která se nevyčerpává prostým zlomkem.
Toto zjištění tedy naznačuje, že Pythagorova věta by byla historickým přenesením konceptu, ale nikoli její formální formulace. I když Pythagoras možná nebyl jejím jedinečným nebo původním objevitelem, jeho role byla rozhodující při systemizaci, výuce a šíření tohoto poznatku. Díky jeho škole a řecké tradici se věta stala součástí západního matematického myšlení a přetrvala až do současnosti. Věda opět dokazuje, že jít kupředu znamená také revidovat, reinterpretovat a uznávat hluboké kořeny toho, co si myslíme, že víme.